引入 [intro][edit]

本文旨在展现一种不依赖于经典自动微分程序硬编码线性性和 Leibniz 律的微分手段，且此手段同时可用于矩阵求逆。 我们将在 动机 部分简单地阐述此手段的数学原理，而其他部分则不涉及任何中学以上的数学推导。

首先回顾经典自动微分程序中对线性性和 Leibniz 律的实现，以下 Haskell 代码片段引自 Automatic Differentiation is Trivial in Haskell.

instance Num Dual where
  (+) (Dual u u') (Dual v v') = Dual (u + v) (u' + v')
  (*) (Dual u u') (Dual v v') = Dual (u * v) (u' * v + u * v')
  (-) (Dual u u') (Dual v v') = Dual (u - v) (u' - v')
  ...

instance Fractional Dual where
  (/) (Dual u u') (Dual v v') = Dual (u / v) ((u' * v - u * v') / v ** 2)
  ...

此实现虽然在性能和简洁方面取得了良好的平衡，但不免使人追问：这四条微分规则是否都必须写出？答案自然是否定的，不过在具体编码环节要如何实践这一点，许多读者也许并不能立刻想到。

另一个也常被冠以 Functional Pearl 之名的主题是，利用星半环 的性质实现矩阵的种种运算，如求逆。对此不熟悉的读者可阅读 Stephen Dolan 的 Fun with semirings: a functional pearl on the abuse of linear algebra.